Докажите тождество
\(\frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{4q^2-p^2}-\frac{2}{p+2q}={-}\frac{1}{2p}\cdot\left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2}+1\right).\)
Упражнение 249
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 61 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Преобразуем левую часть тождества:
\(\frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{4q^2-p^2}-\frac{2}{p+2q}=\frac{1}{p-2q}-\frac{6q}{p^2-4q^2}-\frac{2}{p+2q}=\frac{1}{p-2q}-\frac{6q}{ (p-2q)(p+2q)}-\frac{2}{p+2q}=\frac{p+2q-6q-2(p-2q)}{ (p-2q)(p+2q)}=\frac{p+2q-6q-2p+4q}{ (p-2q)(p+2q)}=\frac{{-}p}{ (p-2q)(p+2q)}={-}\frac{p}{p^2-4q^2}.\)
Преобразуем правую часть тождества:
\({-}\frac{1}{2p}\cdot\left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2}+1\right)={-}\frac{1}{2p}\cdot\frac{p^2+4q^2+p^2-4q^2}{p^2-4q^2}={-}\frac{1}{2p}\cdot\frac{2p^2}{p^2-4q^2}={-}\frac{2p^2}{ 2p(p^2-4q^2)}={-}\frac{p}{p^2-4q^2}.\)
Левая и правая части тождества равны, что и требовалось доказать.