Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
\(a^3+b^3+\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3.\)
Докажите его.
Упражнение 250
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 61 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(a^3+b^3+\left(\frac{ b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{ a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3;\)
\(a^3+b^3=\left(\frac{ a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3-\left(\frac{ b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3;\)
\(a^3+b^3=\frac{ a^3(a^3+2b^3)^3}{ (a^3-b^3)^3}-\frac{ b^3(2a^3+b^3)^3}{ (a^3-b^3)^3};\)
\(a^3+b^3=\frac{ a^3(a^3+2b^3)^3-b^3(2a^3+b^3)^3}{ (a^3-b^3)^3};\)
\((a^3+b^3)(a^3-b^3)^3=\frac{ a^3(a^3+2b^3)^3-b^3(2a^3+b^3)^3}{ (a^3-b^3)^3}\cdot(a^3-b^3)^3;\)
\((a^3+b^3)(a^3-b^3)^3=a^3(a^3+2b^3)^3-b^3(2a^3+b^3)^3.\)
Преобразуем левую часть равенства:
\((a^3+b^3)(a^3-b^3)^3=(a^3+b^3)(a^9-3a^6b^3+3a^3b^6-b^9)=a^{12}-3a^9b^3+3a^6b^6-a^3b^9+a^9b^3-3a^6b^6+3a^3b^9-b^{12}=a^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9-b^{12}.\)
Преобразуем правую часть равенства:
\(a^3(a^3+2b^3)^3-b^3(2a^3+b^3)^3=a^3(a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+8b^9)-b^3(8a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+b^9)=a^{12}+6a^9b^3+6a^6b^6+8a^3b^9-8a^9b^3-6a^6b^6-6a^3b^9-b^{12}=a^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9-b^{12}.\)
Тождество доказано.