Докажите, что если \(z\) является средним гармоническим положительных чисел \(a\) и \(b\), причём \(a\ne{b}\), то верно равенство
\(\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.\)
Упражнение 256
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 62 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
По условию задачи \(z=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{b+a}{ab}}=\frac{2ab}{a+b},\) где \(a\ne{b}.\) Тогда:
\(\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-a}+\frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-b}=\frac{1}{\frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}+\frac{1}{\frac{2ab-b(a+b)}{a+b}}=\frac{1}{\frac{2ab-a^2-ab}{a+b}}+\frac{1}{\frac{2ab-ab-b^2}{a+b}}=\frac{1}{\frac{ab-a^2}{a+b}}+\frac{1}{\frac{ab-b^2}{a+b}}=\frac{a+b}{ a(b-a)}+\frac{a+b}{ b(a-b)}=\frac{a+b}{ a(b-a)}-\frac{a+b}{ b(b-a)}=\frac{ b(a+b)-a(a+b)}{ ab(b-a)}=\frac{ (a+b)(b-a)}{ ab(b-a)}=\frac{a+b}{ab}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},\)
что и требовалось доказать.