§ 1. Упражнение 47. «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень.» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 47

    Упражнение 47

    (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях \(a\), отличных от \({-}2\) и \(2\), значение дроби \(\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) является отрицательным числом?
    \(1)\) Выберите произвольное значение \(a\), отличное от \({-}2\) и \(2\), и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
    \(2)\) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
    \(3)\) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
    Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / – Просвещение, 2023. – 17 c. ISBN 978-5-09-102536-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    \(1)\ \begin{array}[t]{ll}{\largeПусть}\ a=1, {\largeтогда}{:}&&\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{1^2-4}{12+1^2-1^4}=\frac{1-4}{12+1-1}=\frac{{-}3}{12}={-}\frac{1}{4}<0.\end{array}\)
    \(2)\) Сокращение дроби поможет найти ответ на поставленный вопрос в задаче.
    \(3)\ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{a^2-4}{16-4+a^2-a^4}=\frac{a^2-4}{ (16-a^4)-(4-a^2)}=\frac{a^2-4}{ (4-a^2)(4+a^2)-(4-a^2)}=\frac{a^2-4}{ (4-a^2)(4+a^2-1)}=\frac{a^2-4}{ {-}(a^2-4)(a^2+3)}={-}\frac{1}{a^2+3}.\)
    Знаменатель дроби \(a^2+3\geqslant3\) для любого \(a.\) Следовательно, значение дроби \(\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) будет отрицательно при любых значениях \(a\), отличных от \({-}2\) и \(2.\)