Докажите, что значение дроби не зависит от \(n\), где \(n\) – натуральное число:
\({\largeа)}\ \frac{3^{n\ +\ 2}-3^n}{3^{n\ +\ 2}+3^{n\ +\ 1}+3^n};\)
\({\largeб)}\ \frac{16^{n\ +\ 1}-2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}.\)
Упражнение 48
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 17 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\largeа)}\ \frac{3^{n\ +\ 2}-3^n}{3^{n\ +\ 2}+3^{n\ +\ 1}+3^n}=\frac{3^n\cdot3^2-3n}{3^n\cdot3^2+3^n\cdot3+3^n}=\frac{ 3^n(3^2-1)}{ 3^n(3^2+3+1)}=\frac{ 3^n(9-1)}{ 3^n(9+3+1)}=\frac{3^n\cdot8}{3^n\cdot13}=\frac{8}{13}.\)
Значение дроби не зависит от \(n\), что и требовалось доказать.
\({\largeб)}\ \frac{16^{n\ +\ 1}-2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}=\frac{ (2^4)^{n\ +\ 1}-2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}=\frac{2^{4n\ +\ 4}-2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}=\frac{2^{n\ +\ 4}\cdot2^{3n}-2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}=\frac{2^{n\ +\ 4}(2^{3n}-1)}{4\cdot2^n(2^{3n}-1)}=\frac{2^{n\ +\ 4}}{4\cdot2^n}=\frac{2^n\cdot2^4}{4\cdot2^n}=\frac{2^4}{4}=\frac{16}{4}=4.\)
Значение дроби не зависит от \(n\), что и требовалось доказать.