Упростите выражение и найдите его значение при \(x={-}1{,}5\):
\({\largeа)}\ \frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1};\)
\({\largeб)}\ \frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{1+x}{x^2-9}.\)
Упражнение 97
Источник заимствования: Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова – Просвещение, 2023. – 27 c. ISBN 978-5-09-102536-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\largeа)\) Упростим выражение:
\(\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x+1}{ x(x-1)}-\frac{x+2}{ (x-1)(x+1)}=\frac{ (x+1)(x+1)-(x+2)x}{ x(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{ x(x-1)(x+1)}=\frac{1}{ x(x^2-1)}.\)
Найдем значение выражения при \(x={-}1{,}5={-}1\frac{1}{2}={-}\frac{3}{2}\):
\(\frac{1}{ x(x^2-1)}=\frac{1}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left(\left({-}\frac{3}{2}\right)^2-1\right)}=\frac{1}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{9}{4}-1\right)}=\frac{1}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{9}{4}-\frac{4}{4}\right)}=\frac{1}{{-}\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}=\frac{1}{{-}\frac{15}{8}}={-}\frac{8}{15}.\)
\(\largeб)\) Упростим выражение:
\(\frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{1+x}{x^2-9}=\frac{x+2}{ x(x+3)}-\frac{1+x}{ (x-3)(x+3)}=\frac{ (x+2)(x-3)-(1+x)x}{ x(x-3)(x+3)}=\frac{x^2-3x+2x-6-x-x^2}{ x(x-3)(x+3)}=\frac{{-}2x-6}{ x(x-3)(x+3)}=\frac{{-}2(x+3)}{ x(x-3)(x+3)}={-}\frac{2}{ x(x-3)}.\)
Найдем значение выражения при \(x={-}1{,}5={-}1\frac{1}{2}={-}\frac{3}{2}\):
\({-}\frac{2}{ x(x-3)}={-}\frac{2}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left({-}\frac{3}{2}-3\right)}={-}\frac{2}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left({-}3\frac{3}{2}\right)}={-}\frac{2}{{-}\frac{3}{2}\cdot\left({-}\frac{9}{2}\right)}={-}\frac{2}{\frac{27}{4}}={-}\frac{2}{1}:\frac{27}{4}={-}\frac{2}{1}\cdot\frac{4}{27}={-}\frac{8}{27}.\)