Упражнение 721

Решение:

Найдем произведение дробей \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{11}{7}\):

• \(\frac{2}{3}\cdot\frac{11}{7}=\frac{22}{21}\)

Найдем произведение дробей, обратных данным, то есть \(\frac{3}{2}\) и \(\frac{7}{11}\):

• \(\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{11}=\frac{21}{22}\)

Эти два произведения обладают свойством взаимно обратных чисел:

• \(\frac{22}{21}\cdot\frac{21}{22}=1\)

Проверим наше предположение еще на одном примере:
Найдем произведение дробей \(\frac{9}{5}\) и \(\frac{4}{7}\):

• \(\frac{9}{5}\cdot\frac{4}{7}=\frac{36}{35}\)

Найдем произведение дробей, обратных данным, то есть \(\frac{5}{9}\) и \(\frac{7}{4}\):

• \(\frac{5}{9}\cdot\frac{7}{4}=\frac{35}{36}\)

• \(\frac{36}{35}\cdot\frac{35}{36}=1\)

Докажем это свойство в общем виде:
Пусть даны дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), тогда обратные данным, будут дроби \(\frac{b}{a}\) и \(\frac{d}{c}.\)
Получаем:

• \(\frac{a\vphantom{b}}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd};\)
• \(\frac{b}{a}\cdot\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac};\)
• \(\frac{ac}{bd}\cdot\frac{bd}{ac}=1.\)