Докажите тождество:
\(1)\ \frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0;\)
\(2)\ \frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac{6}{a^2-1}=\frac{2}{a^2-1};\)
\(3)\ \frac{2a^2+4}{a^2-1}-\frac{a-2}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}.\)
Упражнение 119
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 29 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(1)\) Упростим левую часть доказываемого тождества:
\(\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}={\frac{a+b}{a}}^{\backslash{a\ -\ b}}-{\frac{a}{a-b}}^{\backslash{a}}+{\frac{b^2}{ a(a-b)}}^{\backslash1}=\frac{ (a+b)(a-b)-a\cdot{a}+b^2}{ a(a-b)}=\frac{a^2-b^2-a^2+b^2}{ a(a-b)}=\frac{0}{ a(a-b)}=0,\)
что и требовалось доказать.
\(2)\) Упростим левую часть доказываемого тождества:
\(\frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac{6}{a^2-1}={\frac{a+3}{a+1}}^{\backslash{a\ -\ 1}}-{\frac{a+1}{a-1}}^{\backslash{a\ +\ 1}}+{\frac{6}{ (a-1)(a+1)}}^{\backslash1}=\frac{ (a+3)(a-1)-(a+1)^2+6}{ (a-1)(a+1)}=\frac{a^2-a+3a-3-(a^2+2a+1)+6}{ (a-1)(a+1)}=\frac{a^2+2a-3-a^2-2a-1+6}{ (a-1)(a+1)}=\frac{2}{ (a-1)(a+1)}=\frac{2}{a^2-1},\)
что и требовалось доказать.
\(3)\) Упростим левую часть доказываемого тождества:
\(\frac{2a^2+4}{a^2-1}-\frac{a-2}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}={\frac{2a^2+4}{ (a-1)(a+1)}}^{\backslash1}-{\frac{a-2}{a+1}}^{\backslash{a\ -\ 1}}-{\frac{a+1}{a-1}}^{\backslash{a\ +\ 1}}=\frac{2a^2+4-(a-2)(a-1)-(a+1)^2}{ (a-1)(a+1)}=\frac{2a^2+4-(a^2-a-2a+2)-(a^2+2a+1)}{ (a-1)(a+1)}=\frac{2a^2+4-a^2+a+2a-2-a^2-2a-1}{ (a-1)(a+1)}=\frac{a+1}{ (a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1},\)
что и требовалось доказать.