Докажите тождество:
\(1)\ \frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a};\)
\(2)\ \frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{2}{2a-1}.\)
Упражнение 125
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 30 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(1)\) Упростим левую часть доказываемого тождества:
\(\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{ {-}(a^2-9)}={\frac{a+3}{ a(a-3)}}^{\backslash{ 3(a\ +\ 3)}}+{\frac{a-3}{ 3(a+3)}}^{\backslash{ a(a\ -\ 3)}}-{\frac{12}{ (a-3)(a+3)}}^{\backslash3a}=\frac{ 3(a+3)(a+3)+a(a-3)(a-3)-12\cdot3a}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{ 3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{ 3(a^2+6a+9)+a(a^2-6a+9)-36a}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{3a^2+18a+27+a^3-6a^2+9a-36a}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{a^3-3a^2-9a+27}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{ (a^3-3a^2)-(9a-27)}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{ a^2(a-3)-9(a-3)}{ 3a(a-3)(a+3)}=\frac{ (a-3)(a^2-9)}{ 3a(a^2-9)}=\frac{a-3}{3a},\)
что и требовалось доказать.
\(2)\) Упростим левую часть доказываемого тождества:
\(\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{ (2ab-b)+(8a-4)}=\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{ b(2a-1)+4(2a-1)}={\frac{b-4}{2a-1}}^{\backslash{b\ +\ 4}}-{\frac{b^2-2b-24}{ (2a-1)(b+4)}}^{\backslash1}=\frac{ (b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)}{ (2a-1)(b+4)}=\frac{b^2-16-b^2+2b+24}{ (2a-1)(b+4)}=\frac{2b+8}{ (2a-1)(b+4)}=\frac{ 2(b+4)}{ (2a-1)(b+4)}=\frac{2}{2a-1},\)
что и требовалось доказать.