Докажите тождество:
\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1.\)
Упражнение 127
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 30 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Упростим левую часть тождества:
\(\frac{bc}{ (a-b)(a-c)}+\frac{ac}{ (b-a)(b-c)}+\frac{ab}{ (c-a)(c-b)}=\frac{bc}{ (a-b)(a-c)}+\frac{ac}{ {-}(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{ (a-c)(b-c)}={\frac{bc}{ (a-b)(a-c)}}^{\backslash{b\ -\ c}}-{\frac{ac}{ (a-b)(b-c)}}^{\backslash{a\ -\ c}}+{\frac{ab}{ (a-c)(b-c)}}^{\backslash{a\ -\ b}}=\frac{ bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{b^2c-ab^2-bc^2+a^2b-a^2c+ac^2}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (b^2c-ab^2)-(bc^2-a^2b)-(a^2c-ac^2)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ b^2(c-a)-b(c^2-a^2)-ac(a-c)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ b^2(c-a)-b(c-a)(c+a)+ac(c-a)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (c-a)(b^2-b(c+a)+ac)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (c-a)(b^2-bc-ab+ac)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (c-a)((b^2-bc)-(ab-ac))}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (c-a)(b(b-c)-a(b-c))}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (c-a)(b-c)(b-a)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ (a-c)(b-c)(a-b)}{ (a-b)(a-c)(b-c)}=1,\)
что и требовалось доказать.