Докажите тождество:
\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}.\)
Упражнение 130
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 31 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\({\frac{1}{1-a}}^{\backslash{1\ +\ a}}+{\frac{1}{1+a}}^{\backslash{1\ -\ a}}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{1+a+1-a}{ (1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}={\frac{2}{1-a^2}}^{\backslash{1\ +\ a^2}}+{\frac{2}{1+a^2}}^{\backslash{1\ -\ a^2}}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{2+2a^2+2-2a^2}{ (1-a^2)(1+a^2)}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}={\frac{4}{1-a^4}}^{\backslash{1\ +\ a^4}}+{\frac{4}{1+a^4}}^{\backslash{1\ -\ a^4}}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{4+4a^4+4-4a^4}{ (1-a^4)(1+a^4)}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}={\frac{8}{1-a^8}}^{\backslash{1\ +\ a^8}}+{\frac{8}{1+a^8}}^{\backslash{1\ -\ a^8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{8+8a^8+8-8a^8}{ (1-a^8)(1+a^8)}+\frac{16}{1+a^{16}}={\frac{16}{1-a^{16}}}^{\backslash{1\ +\ a^{16}}}+{\frac{16}{1+a^{16}}}^{\backslash{1\ -\ a^{16}}}=\frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{ (1-a^{16})(1+a^{16})}=\frac{32}{1-a^{32}},\)
что и требовалось доказать.