§ 4. Упражнение 131. «Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 131

    Упражнение 131

    Докажите тождество:
    \(\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}.\)
    Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / – Вентана-Граф, 2019. – 31 c. ISBN 978-5-360-07402-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    \({\frac{3}{1-a^2}}^{\backslash{1\ +\ a^2}}+{\frac{3}{1+a^2}}^{\backslash{1\ -\ a^2}}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{3+3a^2+3-3a^2}{ (1-a^2)(1+a^2)}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}={\frac{6}{1-a^4}}^{\backslash{1\ +\ a^4}}+{\frac{6}{1+a^4}}^{\backslash{1\ -\ a^4}}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{6+6a^4+6-6a^4}{ (1-a^4)(1+a^4)}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}={\frac{12}{1-a^8}}^{\backslash{1\ +\ a^8}}+{\frac{12}{1+a^8}}^{\backslash{1\ -\ a^8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{12+12a^8+12-12a^8}{ (1-a^8)(1+a^8)}+\frac{24}{1+a^{16}}={\frac{24}{1-a^{16}}}^{\backslash{1\ +\ a^{16}}}+{\frac{24}{1+a^{16}}}^{\backslash{1\ -\ a^{16}}}=\frac{24+24a^{16}+24-24a^{16}}{ (1-a^{16})(1+a^{16})}=\frac{48}{1-a^{32}},\)
    что и требовалось доказать.