Верно ли утверждение, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \((5n+7)^2-(n-1)^2\) делится нацело на \(48?\)
Упражнение 137
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 31 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Имеем:
\((5n+7)^2-(n-1)^2=((5n+7)-(n-1))((5n+7)+(n-1))=(5n+7-n+1)(5n+7+n-1)=(4n+8)(6n+6)=4(n+2)\cdot6(n+1)=24(n+2)(n+1).\)
Выражение \(24(n+2)(n+1)\) делится на \(24.\) При этом один из двух множителей \((n+2)\) или \((n+1)\), при любом натуральном \(n\), будет чётным, а другой нечётным, из этого следует, что произведение этих множителей делится на \(2\), поэтому значение выражения \((5n+7)^2-(n-1)^2\) делится нацело на \(24\cdot2=48.\)
Ответ: да, утверждение верно.