Докажите тождество:
\(1)\ \left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b};\)
\(2)\ \frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3.\)
Упражнение 183
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 45 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(1)\ \left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{ {-}(ab-b^2)}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\left({\frac{b}{ a(a-b)}}^{\backslash{b}}-{\frac{2}{a-b}}^{\backslash{ab}}+{\frac{a}{ b(a-b)}}^{\backslash{a}}\right)\cdot\frac{4ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{b^2-2ab+a^2}{ ab(a-b)}\cdot\frac{4ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ ab(a-b)}\cdot\frac{4ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{ (a-b)^2}{ ab(a-b)}\cdot\frac{4ab}{ (a-b)(a+b)}=\frac{4}{a+b}\)
Тождество доказано.
\(2)\ \frac{ (a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{ (a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=\frac{ (a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{ (a-b)^2}+\frac{a}{ {-}(a^2-b^2)}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=\frac{ (a-b)^2}{a}\cdot\frac{a}{ (a-b)^2}-\frac{ (a-b)^2}{a}\cdot\frac{a}{ (a-b)(a+b)}+\frac{3a+b}{a+b}={\frac{1}{1}}^{\backslash{a\ +\ b}}-{\frac{a-b}{a+b}}^{\backslash1}+{\frac{3a+b}{a+b}}^{\backslash1}=\frac{a+b-(a-b)+3a+b}{a+b}=\frac{a+b-a+b+3a+b}{a+b}=\frac{3a+3b}{a+b}=\frac{ 3(a+b)}{a+b}=3\)
Тождество доказано.