Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение \(\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)\) принимает положительные значения.
Упражнение 191
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 46 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
\(\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{ {-}(b^2-9)}-\frac{3}{ b(b+3)}\right)=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\left({\frac{1}{b-3}}^{\backslash{ b(b\ +\ 3)}}-{\frac{6}{ (b-3)(b+3)}}^{\backslash{b}}-{\frac{3}{ b(b+3)}}^{\backslash{b\ -\ 3}}\right)=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\frac{ b(b+3)-6b-3(b-3)}{ b(b-3)(b+3)}=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\frac{b^2+3b-6b-3b+9}{ b(b-3)(b+3)}=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\frac{b^2-6b+9}{ b(b-3)(b+3)}=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{ (b+3)^2}{ (b-3)^2}\cdot\frac{ (b-3)^2}{ b(b-3)(b+3)}=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{b+3}{ b(b-3)}=\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}+\frac{b+3}{ {-}b(3-b)}={\frac{b^2+9}{ b^2(3-b)}}^{\backslash1}-{\frac{b+3}{ b(3-b)}}^{\backslash{b}}=\frac{b^2+9-b(b+3)}{ b^2(3-b)}=\frac{b^2+9-b^2-3b}{ b^2(3-b)}=\frac{9-3b}{ b^2(3-b)}=\frac{ 3(3-b)}{ b^2(3-b)}=\frac{3}{b^2}\)
Для любого числа \(b\) число \(b^2\) – неотрицательное. Если \(3\) разделить на неотрицательное число, то получится положительное число, то есть \(\frac{3}{b^2}>0\) для всех допустимых значений переменной \(b\), что и требовалось доказать.