Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(3^{n\ +\ 2}-2^{n\ +\ 2}+3^n-2^n\) делится нацело на \(10.\)
Упражнение 195

Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 47 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Имеем:
\(3^{n\ +\ 2}-2^{n\ +\ 2}+3^n-2^n=3^{n\ +\ 2}+3^n-2^{n\ +\ 2}-2^n=3^n\cdot(3^2+1)-2^n\cdot(2^2+1)=3^n\cdot(9+1)-2^n\cdot(4+1)=3^n\cdot10-2^n\cdot5=10\cdot\left(3^n-2^n\cdot\frac{1}{2}\right)=10\cdot(3^n-2^n\cdot2^{{-}1})=10\cdot(3^n-2^{n\ -\ 1}),\)
так как один из множителей делится на \(10,\) то и значение выражения \(3^{n\ +\ 2}-2^{n\ +\ 2}+3^n-2^n\) при любом натуральном \(n\) делится нацело на \(10,\) что и требовалось доказать.