Упражнение 200

Пусть купили \(x\) воробьёв и \(y\) голубей, тогда горлиц купили \((30-x-y).\) Значит, за воробьёв заплатили \(\frac{x}{3}\) монет, за голубей – \(\frac{y}{2}\) монет и за горлиц – \(2(30-x-y)\) монет.
Составим уравнение, зная, что за всех птиц заплатили \(30\) монет:

\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+2(30-x-y)=30\)

Умножив на \(6\) левую и правую части уравнения, получим:

\(2x+3y+12(30-x-y)=180\)
\(2x+3y+360-12x-12y=180\)
\(12x-2x+12y-3y=360-180\)
\(10x+9y=180\)

Коэффициент при \(x\) и правая часть уравнения делятся нацело на \(10\), следовательно, и выражение \(9y\) должно делится на \(10.\) Выразим переменную \(y\) следующим образом \(y=10y_1\), тогда уравнение примет следующий вид:

\(10x+90y_1=180\)

Разделив обе части уравнения на \(10\), получим:

\(x+9y_1=18\)

Так как коэффициент при \(y\) и правая часть уравнения делятся нацело на \(9\), то и \(x\) должно делится на \(9\), введем новое обозначение \(x=9x_1\), после этого получим уравнение:

\(9x_1+9y_1=18\)

Разделив левую и правую части уравнения на \(9\), получим:

\(x_1+y_1=2\)

Из условия задачи известно, что купили хотя бы одну птичку каждого вида, и переменные \(x,\ y\) могут быть выражены только натуральным числом, значит, решением уравнения \(x_1+y_1=2\) являются числа \(1\) и \(1\), то есть \(x_1=1,\ y_1=1.\) Отсюда, если \(x_1=1\) и \(y_1=1\), то \(x=9,\ y=10\) и \(30-x-y=30-9-10=11.\)
Таким образом купили \(9\) воробьёв, \(10\) голубей и \(11\) горлиц.

Ответ: купили \(9\) воробьёв, \(10\) голубей и \(11\) горлиц.