\(1)\) Рассмотрим два случая для уравнения \(\frac{x-1}{x-a}=0.\)
\(1)\ a=1.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}x-1=0,\\[-1ex]\\x-1\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=1,\\[-1ex]\\x\ne1.\end{cases}\)
\(2)\ a\ne1.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}x-1=0,\\[-1ex]\\x-a\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=1,\\[-1ex]\\x\ne{a}.\end{cases}\)
Ответ: если \(a=1\), то уравнение не имеет корней; если \(a\ne1\), то \(x=1.\)
\(2)\) Рассмотрим два случая для уравнения \(\frac{x-a}{x+5}=0.\)
\(1)\ a={-}5.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}x+5=0,\\[-1ex]\\x+5\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x={-}5,\\[-1ex]\\x\ne{-}5.\end{cases}\)
\(2)\ a\ne{-}5.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}x-a=0,\\[-1ex]\\x+5\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=a,\\[-1ex]\\x\ne{-}5.\end{cases}\)
Ответ: если \(a={-}5\), то уравнение не имеет корней; если \(a\ne{-}5\), то \(x=a.\)
\(3)\) Рассмотрим три случая для уравнения \(\frac{ a(x-a)}{x-3}=0.\)
\(1)\ a=0.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}0x=0,\\[-1ex]\\x-3\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}0x=0,\\[-1ex]\\x\ne3.\end{cases}\)
\(2)\ a=3.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}3(x-3)=0,\\[-1ex]\\x-3\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=3,\\[-1ex]\\x\ne3.\end{cases}\)
\(3)\ a\ne0\) и \(a\ne3.\)
Тогда \(\begin{cases}a(x-a)=0,\\[-1ex]\\x-3\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=a,\\[-1ex]\\x\ne3.\end{cases}\)
Ответ: если \(a=0\), то корнем уравнения является любое число, кроме \(3\); если \(a=3\), то уравнение не имеет корней; если \(a\ne0\) и \(a\ne3\), то \(x=a.\)
\(4)\) Рассмотрим два случая для уравнения \(\frac{ (x-a)(x-6)}{x-7}=0.\)
\(1)\ a=7.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}(x-7)(x-6)=0,\\[-1ex]\\x-7\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=7,\\[-1ex]\\x=6,\\[-1ex]\\x\ne7.\end{cases}\)
\(2)\ a\ne7.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}(x-a)(x-6)=0,\\[-1ex]\\x-7\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=a,\\[-1ex]\\x=6,\\[-1ex]\\x\ne7.\end{cases}\)
Ответ: если \(a=7\), то \(x=6\); если \(a\ne7\), то \(x=a\) или \(x=6.\)
\(5)\) Рассмотрим три случая для уравнения \(\frac{ (x-4)(x+2)}{x-a}=0.\)
\(1)\ a=4.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}(x-4)(x+2)=0,\\[-1ex]\\x-4\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=4,\\[-1ex]\\x={-}2,\\[-1ex]\\x\ne4.\end{cases}\)
\(2)\ a={-}2.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}(x-4)(x+2)=0,\\[-1ex]\\x+2\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=4,\\[-1ex]\\x={-}2,\\[-1ex]\\x\ne{-}2.\end{cases}\)
\(3)\ a\ne4\) и \(a\ne{-}2.\)
Тогда \(\begin{cases}(x-4)(x+2)=0,\\[-1ex]\\x-a\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=4,\\[-1ex]\\x={-}2,\\[-1ex]\\x\ne{a}.\end{cases}\)
Ответ: если \(a=4\), то \(x={-}2\); если \(a={-}2\), то \(x=4\); если \(a\ne4\) и \(a\ne{-}2\), то \(x=4\) или \(x={-}2.\)
\(6)\) Рассмотрим три случая для уравнения \(\frac{x-a}{ (x-4)(x+2)}=0.\)
\(1)\ a=4.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}x-4=0,\\[-1ex]\\(x-4)(x+2)\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=4,\\[-1ex]\\x\ne4,\\[-1ex]\\x\ne{-}2.\end{cases}\)
\(2)\ a={-}2.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}x+2=0,\\[-1ex]\\(x-4)(x+2)\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x={-}2,\\[-1ex]\\x\ne4,\\[-1ex]\\x\ne{-}2.\end{cases}\)
\(3)\ a\ne4\) и \(a\ne{-}2\)
Тогда \(\begin{cases}x-a=0,\\[-1ex]\\(x-4)(x+2)\ne0.\end{cases}\), отсюда \(\begin{cases}x=a,\\[-1ex]\\x\ne4,\\[-1ex]\\x\ne{-}2.\end{cases}\)
Ответ: если \(a=4\) и \(a={-}2\), то уравнение не имеет корней; если \(a\ne4\) и \(a\ne{-}2\), то \(x=a.\)
