При каких значениях \(a\) уравнение \(\frac{(x-a)(x-3a)}{x+9}=0\) имеет один корень?
Упражнение 221
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 58 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Рассмотрим три случая для уравнения \(\frac{ (x-a)(x-3a)}{x+9}=0.\)
\(1)\ a={-}9\) и \(3a\ne{-}9.\)
Тогда получаем систему \(\begin{cases}(x+9)(x-3a)=0,\\[-1ex]\\x+9\ne0.\end{cases}\), откуда получаем \(\begin{cases}x={-}9,\\[-1ex]\\x=3a,\\[-1ex]\\x\ne{-}9.\end{cases}\)
\(2)\ a\ne{-}9\) и \(3a={-}9.\)
В этом случае получаем систему \(\begin{cases}(x-a)(x+9)=0,\\[-1ex]\\x+9\ne0.\end{cases}\), откуда получаем \(\begin{cases}x=a,\\[-1ex]\\x={-}9,\\[-1ex]\\x\ne{-}9.\end{cases}\)
\(3)\ a=3a.\)
Тогда \(\begin{cases}(x-3a)(x-3a)=0,\\[-1ex]\\x+9\ne0.\end{cases}\), откуда получаем \(\begin{cases}x=3a,\\[-1ex]\\x\ne{-}9.\end{cases}\)
Ответ: уравнение будет иметь один корень: если \(a={-}9\) и \(3a\ne{-}9\), то \(x=3a\); если \(a\ne{-}9\) и \(3a={-}9\), то \(x=a\); если \(a=3a\), то \(x=3a.\)