Можно ли утверждать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \((5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2\) кратно \(42?\)
Упражнение 269
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 67 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Имеем:
\((5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2=((5n+6{,}5)-(2n+0{,}5))((5n+6{,}5)+(2n+0{,}5))=(5n+6{,}5-2n-0{,}5)(5n+6{,}5+2n+0{,}5)=(3n+6)(7n+7)=3(n+2)\cdot7(n+1)=21(n+2)(n+1).\)
Выражение \(21(n+2)(n+1)\) делится на \(21.\) При этом один из двух множителей \((n+2)\) или \((n+1)\), при любом натуральном \(n\), делится на \(2\), так как из двух последовательных целых чисел одно будет чётным, а другое нечётным, из этого следует, что и произведение этих множителей делится на \(2\), поэтому можно утверждать, что значение выражения \((5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2\) делится на \(21\cdot2=42.\)
Ответ: да, можно утверждать, что данное выражение кратно \(42.\)