Существует ли такое значение \(a,\) при котором дробь \(\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}\) принимает отрицательное значение?
Упражнение 54
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 18 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Так как:
\(\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}=\frac{ (a^3-a^2)-(a-1)}{ (a^3+a^2)+(a+1)}=\frac{ a^2(a-1)-(a-1)}{ a^2(a+1)+(a+1)}=\frac{ (a-1)(a^2-1)}{ (a+1)(a^2+1)}=\frac{ (a-1)(a-1)(a+1)}{ (a+1)(a^2+1)}=\frac{ (a-1)^2}{a^2+1}\)
и \((a-1)^2\geqslant0,\ a^2+1\geqslant1\) для любого числа \(a,\) то дробь \(\frac{ (a-1)^2}{a^2+1}\geqslant0,\) из этого следует, что не существует такого значения \(a,\) при котором дробь \(\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}\) принимала бы отрицательное значение.