На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна \(55.\) Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.
Упражнение 67
Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Вентана-Граф, 2019. – 19 c. ISBN 978-5-360-07402-1
Реклама
А+АА-
Решение:
Пусть числа, записанные на сторонах квадрата, равны \(a,\ b,\ c\) и \(d.\) Тогда в вершинах квадрата записаны числа \(ab,\ bc,\ cd\) и \(da.\) Из условия задачи следует, что \(ab+bc+cd+da=55.\) Раскладывая на множители левую часть равенства, получаем:
\(ab+bc+cd+da=b(a+c)+d(a+c)=(a+c)(b+d)\)
\((a+c)(b+d)=55\)
Получили произведение двух натуральных чисел, каждое из которых больше \(1\) и является делителем числа \(55.\) Число \(55\) в виде такого произведения можно представить только одним способом: \(55=5\cdot11.\) Отсюда получаем две возможности: \(a+c=5,\ b+d=11\) или \(a+c=11,\ b+d=5.\) В обоих случаях имеем: \(a+b+c+d=16.\)
Ответ: Сумма чисел, записанных на сторонах квадрата равна \(16.\)