§ 3. Упражнение 89. «Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 89

    Упражнение 89

    Найдите все натуральные значения \(n\), при которых значение выражения является целым числом:
    \(\vphantom{\frac{0^0}{0}}1)\ \frac{n+6}{n};\)
    \(2)\ \frac{3n^2-4n-14}{n};\)
    \(\vphantom{\frac{0^0}{0}}3)\ \frac{4n+7}{2n-3}.\)
    Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / – Вентана-Граф, 2019. – 23 c. ISBN 978-5-360-07402-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    \(1)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
    \(\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{6}{n}.\)
    Выражение \(1+\frac{6}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{6}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 3,\ 6.\)
    Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=3\), или \(n=6.\)
    \(2)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
    \(\frac{3n^2-4n-14}{n}=\frac{3n^2}{n}-\frac{4n}{n}-\frac{14}{n}=3n-4-\frac{14}{n}.\)
    Выражение \(3n-4\) принимает целые значения при любом натуральном \(n.\) Поэтому выражение \(3n-4-\frac{14}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{14}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 7,\ 14.\)
    Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=7\), или \(n=14.\)
    \(3)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
    \(\frac{4n+7}{2n-3}=\frac{4n-6+13}{2n-3}=\frac{4n-6}{2n-3}+\frac{13}{2n-3}=\frac{ 2(2n-3)}{2n-3}+\frac{13}{2n-3}=2+\frac{13}{2n-3}.\)
    Выражение \(2+\frac{13}{2n-3}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{13}{2n-3}\) являются целыми числами. Рассмотрим четыре случая:
    \(2n-3={-}1\)
    \(2n={-}1+3\)
    \(2n=2\)
    \(n=\frac{2}{2}\)
    \(n=1\)
    \(2n-3=1\)
    \(2n=1+3\)
    \(2n=4\)
    \(n=\frac{4}{2}\)
    \(n=2\)
    \(2n-3={-}13\)
    \(2n={-}13+3\)
    \(2n={-}10\)
    \(n={-}\frac{10}{2}\)
    \(n={-}5\)
    \(2n-3=13\)
    \(2n=13+3\)
    \(2n=16\)
    \(n=\frac{16}{2}\)
    \(n=8\)
    Удовлетворяют условию задачи следующие значения \(n\): \(1,\ 2,\ 8.\)
    Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=8.\)