\(1)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
\(\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{6}{n}.\)
Выражение \(1+\frac{6}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{6}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 3,\ 6.\)
Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=3\), или \(n=6.\)
\(2)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
\(\frac{3n^2-4n-14}{n}=\frac{3n^2}{n}-\frac{4n}{n}-\frac{14}{n}=3n-4-\frac{14}{n}.\)
Выражение \(3n-4\) принимает целые значения при любом натуральном \(n.\) Поэтому выражение \(3n-4-\frac{14}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{14}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 7,\ 14.\)
Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=7\), или \(n=14.\)
\(3)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
\(\frac{4n+7}{2n-3}=\frac{4n-6+13}{2n-3}=\frac{4n-6}{2n-3}+\frac{13}{2n-3}=\frac{ 2(2n-3)}{2n-3}+\frac{13}{2n-3}=2+\frac{13}{2n-3}.\)
Выражение \(2+\frac{13}{2n-3}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{13}{2n-3}\) являются целыми числами. Рассмотрим четыре случая:
\(2n-3={-}1\)
\(2n={-}1+3\)
\(2n=2\)
\(n=\frac{2}{2}\)
\(n=1\)
\(2n-3=1\)
\(2n=1+3\)
\(2n=4\)
\(n=\frac{4}{2}\)
\(n=2\)
\(2n-3={-}13\)
\(2n={-}13+3\)
\(2n={-}10\)
\(n={-}\frac{10}{2}\)
\(n={-}5\)
\(2n-3=13\)
\(2n=13+3\)
\(2n=16\)
\(n=\frac{16}{2}\)
\(n=8\)
Удовлетворяют условию задачи следующие значения \(n\): \(1,\ 2,\ 8.\)
Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=8.\)