\(1)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
\(\frac{8n-9}{n}=\frac{8n}{n}-\frac{9}{n}=8-\frac{9}{n}.\)
Выражение \(8-\frac{9}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{9}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 3,\ 9.\)
Ответ: \(n=1\), или \(n=3\), или \(n=9.\)
\(2)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
\(\frac{n^2+2n-8}{n}=\frac{n^2}{n}+\frac{2n}{n}-\frac{8}{n}=n+2-\frac{8}{n}.\)
Выражение \(n+2\) принимает целые значения при любом натуральном \(n.\) Поэтому выражение \(n+2-\frac{8}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{8}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 4,\ 8.\)
Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=4\), или \(n=8.\)
\(3)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
\(\frac{9n-4}{3n-5}=\frac{9n-15+11}{3n-5}=\frac{9n-15}{3n-5}+\frac{11}{3n-5}=\frac{ 3(3n-5)}{3n-5}+\frac{11}{3n-5}=3+\frac{11}{3n-5}.\)
Выражение \(3+\frac{11}{3n-5}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{11}{3n-5}\) являются целыми числами. Рассмотрим четыре случая:
\(3n-5={-}1\)
\(3n={-}1+5\)
\(3n=4\)
\(n=\frac{4}{3}\)
\(n=1\frac{1}{3}\)
\(3n-5=1\)
\(3n=1+5\)
\(3n=6\)
\(n=\frac{6}{3}\)
\(n=2\)
\(3n-5={-}11\)
\(3n={-}11+5\)
\(3n={-}6\)
\(n={-}\frac{6}{3}\)
\(n={-}2\)
\(3n-5=11\)
\(3n=11+5\)
\(3n=16\)
\(n=\frac{16}{3}\)
\(n=5\frac{1}{3}\)
Только \(n=2\) yдовлетворяет условию задачи.
Ответ: \(n=2.\)