§ 3. Упражнение 90. «Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций» АЛГЕБРА 8 ГДЗ Упражнение 90

    Упражнение 90

    Найдите все натуральные значения \(n\), при которых значение выражения является целым числом:
    \(\vphantom{\frac{0^0}{0}}1)\ \frac{8n-9}{n};\)
    \(2)\ \frac{n^2+2n-8}{n};\)
    \(\vphantom{\frac{0^0}{0}}3)\ \frac{9n-4}{3n-5}.\)
    Источник заимствования: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / – Вентана-Граф, 2019. – 23 c. ISBN 978-5-360-07402-1
    Реклама
    А+АА-

    Решение:

    \(1)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
    \(\frac{8n-9}{n}=\frac{8n}{n}-\frac{9}{n}=8-\frac{9}{n}.\)
    Выражение \(8-\frac{9}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{9}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 3,\ 9.\)
    Ответ: \(n=1\), или \(n=3\), или \(n=9.\)
    \(2)\) Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:
    \(\frac{n^2+2n-8}{n}=\frac{n^2}{n}+\frac{2n}{n}-\frac{8}{n}=n+2-\frac{8}{n}.\)
    Выражение \(n+2\) принимает целые значения при любом натуральном \(n.\) Поэтому выражение \(n+2-\frac{8}{n}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{8}{n}\) являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях \(n\): \(1,\ 2,\ 4,\ 8.\)
    Ответ: \(n=1\), или \(n=2\), или \(n=4\), или \(n=8.\)
    \(3)\) Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:
    \(\frac{9n-4}{3n-5}=\frac{9n-15+11}{3n-5}=\frac{9n-15}{3n-5}+\frac{11}{3n-5}=\frac{ 3(3n-5)}{3n-5}+\frac{11}{3n-5}=3+\frac{11}{3n-5}.\)
    Выражение \(3+\frac{11}{3n-5}\) принимает целые значения, если значения выражения \(\frac{11}{3n-5}\) являются целыми числами. Рассмотрим четыре случая:
    \(3n-5={-}1\)
    \(3n={-}1+5\)
    \(3n=4\)
    \(n=\frac{4}{3}\)
    \(n=1\frac{1}{3}\)
    \(3n-5=1\)
    \(3n=1+5\)
    \(3n=6\)
    \(n=\frac{6}{3}\)
    \(n=2\)
    \(3n-5={-}11\)
    \(3n={-}11+5\)
    \(3n={-}6\)
    \(n={-}\frac{6}{3}\)
    \(n={-}2\)
    \(3n-5=11\)
    \(3n=11+5\)
    \(3n=16\)
    \(n=\frac{16}{3}\)
    \(n=5\frac{1}{3}\)
    Только \(n=2\) yдовлетворяет условию задачи.
    Ответ: \(n=2.\)